Questo libro consiste in un’efficace disamina, succinta e schematica, delle principali innovazioni avvenute nella matematica moderna durante il XX secolo.
Il libro e’ diviso in cinque capitoli, fondamenti, matematica pura, matematica applicata, matematica al calcolatore e problemi aperti.
Odifreddi, abile divulgatore, dotato di erudizione nonche' di uno stile brillante e spiritoso, trova un giusto equilibrio tra dettaglio tecnico e scorrevolezza divulgativa, ed il suo stile riesce a condensare in poche pagine una grande quantita’ di informazioni.
Nelle prime pagine viene effettuata una sintesi del problema dei fondamenti della matematica, ovvero l’ambizioso progetto di riduzione della matematica a pura logica, che e’ stato l’obiettivo della teoria degli insiemi. Questo programma fu al centro anche di uno dei famosi problemi di Hilbert del 1900, per poi arenarsi bruscamente nel 1931 a causa del Teorema di Incompletezza di Godel, che stabilisce l’esistenza di proposizioni indimostrabili in ogni sistema formale coerente, ed esclude la possibilita’ di dimostrare la coerenza di un sistema logico all’interno del sistema stesso. Da queste ceneri e' nato successivamente l’approccio “fondazionale” Bourbakista (dal nome collettivo Nicolas Bourbaki usato da un gruppo/setta di matematici francesi degli anni 1930), che poneva maggiore enfasi sull'astrazione fine a se' stessa e di conseguenza sulle strutture formali di base che si incontrano in matematica (algebriche, d’ordine, topologiche). In seguito con la teoria delle categorie (derivata dall’approccio bourbakista) si e’ cercato di trovare un denominatore comune alle varie strutture, giungendo appunto al concetto di categoria, grazie al quale e’ possibile arrivare ad una nuova classificazione degli enti matematici (la teoria delle categorie e’ in un certo senso una generalizzazione della teoria degli insiemi).
Inoltre viene riportato un tentativo completamente diverso, noto come lambda calcolo (sviluppato dal logico Alonzo Church sempre negli anni 1930) il quale, non essendo espresso in termini di logica classica (cioe’ di teoremi veri o falsi), ma esclusivamente sul concetto di funzione, ha il grosso vantaggio di non essere formalmente soggetto alle limitazioni del Teorema di Godel. Questa teoria tuttavia non si affermo' subito ma soltanto qualche decennio dopo (negli anni 1980) come fondamento teorico di una  branca moderna della matematica, ovvero l’informatica.
Nel capitolo successivo, dedicato alla matematica pura, si parte da argomenti ormai classici ed ampiamente assimilati dalla matematica moderna come la teoria della misura di Lebesgue (1902) e il teorema del punto fisso di Brouwer (1910), e passando per altri lidi, noti per lo piu’ agli specialisti, come la teoria delle distribuzioni di Schwartz (1945), le strutture esotiche di Milnor (1956) e la teoria delle catastrofi di Rene’ Thom (1964), si arriva fino ai risultati piu’ recenti della matematica contemporanea, come la dimostrazione di Wiles dell’ultimo teorema di Fermat (1995).
Il terzo capitolo e’ dedicato alla matematica applicata, e contiene tra l’altro la teoria della relativita’ generale di Einstein (1915), l’assiomatizzazione della meccanica quantistica ad opera di von Neumann (1932), la teoria della probabilita’ di Kolmogorov (1933), la classificazione dei linguaggi formali di Chomsky (1957), gli invarianti di Jones in teoria dei nodi (1984).
Infine il quarto capitolo, dedicato alla matematica al calcolatore, contiene, tra l’altro la teoria degli algoritmi di Turing (1936), la dimostrazione al computer del teorema dei quattro colori di Appel e Haken (1976), i frattali e l’insieme di Mandelbrot (1980), mentre l’ultimo capitolo, riguardante le questioni insolute della matematica, passa dal problema dei numeri perfetti (300 a.C.) all’ipotesi di Riemann (1859) e alla congettura di Poincare’ (formulata nel 1904 e risolta nel 2005 - data successiva alla pubblicazione del libro - dal matematico russo Grigori Perelman).
Da matematico, Odifreddi tenta a tutti i costi una classificazione degli argomenti, che forse a volte appare un po’ troppo arbitraria: infatti, se da un lato per collocare la teoria delle catastrofi di Thom Odifreddi usa la criptica etichetta “teoria delle singolarita’ ” (probabilmente adatta piu’ per un sotto-sotto-capitolo di un’appendice di un corso di geometria algebrica che per un trattato generale come il suo), dall'altro appare un po' bizzarro e ingeneroso citare la teoria della relativita’ generale di Einstein come un argomento di “calcolo tensoriale”, anche se si tratta di una constatazione corretta dal punto di vista formale.
Da un punto di vista stilistico, nonostante alcune brillanti divagazioni, Odifreddi preferisce restare il piu' delle volte su un piano impersonale ed asettico, come si addice agli scritti di argomento matematico, che in genere non si prestano a particolari interpretazioni personali. Ma quando si esce da un ambito strettamente matematico non mancano alcune eccezioni, come quando l'autore cerca di criticare negativamente (in realta' in maniera piuttosto pretestuosa) le posizioni dell’intelligenza artificiale da un punto di vista squisitamente intellettuale.
In conclusione, pur non essendo esente da difetti e idiosincrasie accademiche, questo libro, grazie allo stile efficace di Odifreddi, si afferma come una valida introduzione, per ricchezza espositiva e grande capacita’ di sintesi, alla matematica moderna e alle sue molteplici applicazioni, essendo tra l'altro uno dei pochissimi testi aggiornati disponibili sull’argomento.

Odifreddi ha un interessante sito web, con saggi e interviste -  http://www.vialattea.net/odifreddi/